기본적인 극한증명인데.. 처음배울때는 멍했는데 다시보니 기발하다.

'lim(x->a) f(x) = L' 임을 증명하라을 말로 풀어보면 이렇다.

x가 a에 충분히 가까이 갈때 f(x) 가 L에 가까이감을 증명하라.

1. 임의의 엡실론과 델타를 가정한다.

2. x - a

   < (델타) ->

   f(x) - L

   < (엡실론)

3. 임의의 엡실론에 대해 만족하는 델타가 존재한다.

2번을 다시 말로 풀어보면 이렇다. x와 a의 차가 충분히 작은 델타가 존재하면 f(x)와 L의 차가 충분히 작은 엡실론이 존재한다. 이럴때, 모든(every) 엡실론에 대해 델타가 존재하는것을 보이면 된다. (즉, 엡실론이 존재한다고 가정하고 그에따른 델타가 항상 존재하는것을 보이면, 엡실론이 존재한다는 가정은 참이되고, 따라서 엡실론과의 거리로 구할수 있는 L이 존재함도 참이다.)

참으로 기발하다.

이렇게 증명된 여러 lim를 가지고 다른 정리들도 유도해낸다. 예를들면 lim(x->a) f(x) = L이 존재하고 lim(x->a) g(x) = M 이면 limx(x->a) f(x)-g(x) = L - M 임도 위의 엡실론-델타로 구할수 있다.(물론 - 뿐만 아니라 +, x, / 등도 성립하고 그것도 많은 수학자들이 엡실론-델타를 이용해 증명해놨다.)