초월수라는것은 다항식에서 정의되는 개념이고 다음과 같은 상황에서 쓰인다.
π 는 유리수계수 다항식에 대해 초월적인 수(transcendental number, 초월수) 이다.
이것의 의미를 들여다보면 유리수 계수로 이루어진 어떠한 n차 방정식의 해도 π가 될수 없다는 말이다.
반면에 유리수 계수의 n차 방정식의 해가 되는 수를 대수적수(algebraic number)라고 한다. 예를들면 i는 x^2 + 1=0의 해이므로 대수적이다.
초월적이든 대수적이든간에 방정식의 해를 포함하는 field를 만들어 낼수 있다는 이론(Kronecker’s Theorem) 이 있다. 예를들면 i를 포함하는 필드 Q(i) = { a + bi |
a, b는 유리수 } 이다. 이때의 Q(i)를 Q의 확대체(extension field) 라 한다. |
Q(i)를 잘 살펴보면 1과 i를 base로 가지는, Q위의 벡터공간임을 알수 있다. 또한 이러한 경우 Q위의 Q(i)의 차원이 (기저의 갯수인) 2임도 알수 있고 이러한 관계를 [ Q(i) : Q ] = 2 라고 표현하고 Q위의 확대체 Q(i)의 차수(degree) 가 2 라고 읽는다.
이러한 이론이 어떤식으로 쓰이는지 재미있는 예가 있다. 작도를 통해 만들어 질수 있는 수 c 가 있다고 하면, [ Q(c) : Q ] = 2의 거듭제곱 꼴 이어야하는데 60도(2π/3)의 3등분의 cosine 값은 8x^3 - 6x - 1 = 0의 근이고(드모르간의 정리를 이용한다) 이 근을 t라고 하면 이 t를 포함하는 Q위의 필드 Q(t) 의 degree가 3이기 때문에 ( [ Q(t) : Q ] = 3 ) 60도는 자와 컴퍼스를 가지고 3등분 할수 없다.
…..사실은 이번 기말고사에 나온 cos(rπ) (r은 유리수) 가 대수적수임을 증명하는 문제를 풀어서(!) 자랑하려고(!!) 쓰기 시작했는데.. 이정도 정리도 힘에 부친다. -_- [ Q(c) : Q ] 가 2의 거듭제곱꼴이어야 하는 이유는 컴퍼스를 이용해 만든 원과 직선의 방정식의 교점이 이차방정식이기 때문인데 힘들므로 생략.. 후후..